过抛物线y^2=2px焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p^2

当直线斜率存在时，设直线方程为
y=k(x-p/2)
与y^2=2px联立，消去x，得
y^2=2p(y/k+p/2)
即
y^2-2py/k-p^2=0
所以
y1*y2=-p^2，
当直线斜率不存在即与x轴垂直时，|y1|=|y2|=p，且二者异号，
∴y1*y2=-p^2，
综上，y1*y2=-p^2恒成立。

L:y=kx-pk/2
y/k+p/2=x
y^2-2py/k-p^2=0
y1y2=-p^2

高三数学书上有，这些都是基本结论的

设两点坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），不妨设y1>y2
1.当x1=x2时
则
y1=-y2=p
∴y1y2=-p^2
2.当x1≠x2时
设y=k（x-p/2）
∵y^2=2px
y=k(x-p/2)
联立，解得
y^2-2p/ky-p^2=0
∴y1y2=p^2